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初一学生如何解一元一次方程
作者:罗老师    文章来源:本站原创    点击数:63651    更新时间:2014-12-03    

 

如何解一元一次方程

     方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程
都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧. 
  用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一
个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.
  如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.
条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出
方程的解集.
  只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.
    任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式).
  解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b;
                          (5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解.
   一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定:
  
  (2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解;
  (3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解.
  例1 解方程

  

 

  解法1 从里到外逐级去括号.去小括号得
 
  去中括号得

 

  去大括号得

 

   

  解法2 按照分配律由外及里去括号.去大括号得

 

  化简为
 
  去中括号得

 

  去小括号得
   
   
   
  例2 已知下面两个方程

3(x+2)=5x,①

4x-3(a-x)=6x-7(a-x)

  有相同的解,试求a的值.
  分析 本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值.
  解 由方程①可求得3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的定义,把x=3代入方程②时,应有

4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)

7(a-3)-3(a-3)=18-12

  

  例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.
  解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由题设知a+2=5,所以a=3.于是有

2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3-2x=-21

  4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0

  分析 这个方程中未知数是xmn是可以取不同实数值的常数,因此需要讨mn取不同值

时,方程解的情况.

   把原方程化为

m2x+mnx-mn-n2=0

整理得 m(m+n)x=n(m+n)

  

  m+n0,且m=0时,方程无解;

  m+n=0时,方程的解为一切实数.

  说明 含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.

  5 解方程

(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2

  分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项,但整理化简后,可以消去x2,也

就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程.

   将原方程整理化简得

(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2

   (a2-b2)x=(a-b)2

  (1)a2-b20时,即a≠±b时,方程有唯一解

 

  (2)a2-b2=0时,即a=ba=-b时,若a-b0,即ab,即a=-b时,方程无解;

a-b=0,即a=b,方程有无数多个解.

  6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x-

2m)+m的值.

   因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,所以

m2-1=0,即m=±1

  (1)m=1时,方程变为-2x+8=0,因此x=4,代数式的值为

199(1+4)(4-2×1)+1=1991

  (2)m=-1时,原方程无解.

  所以所求代数式的值为1991

  7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.

   将原方程变形为

2ax-a=3x-2

  (2a-3)x=a-2

  由已知该方程无解,所以

 

    

  8 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数?

  来确定:

  (1)b=0时,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立.

  (2)ab0时,则方程的解是正数;反之,若方程ax=b的解是正数,则ab0成立.

  (3)ab0时,则方程的解是负数;反之,若方程ax=b的解是负数,则ab0成立.

   按未知数x整理方程得

(k2-2k)x=k2-5k

  要使方程的解为正数,需要

(k2-2k)(k2-5k)0

  看不等式的左端

(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)

  因为k20,所以只要k5k2时上式大于零,所以当k2k5时,原方

程的解是正数,所以k50k2即为所求.

  9 abc=1,解方程

 

   因为abc=1,所以原方程可变形为

 

  化简整理为

 

  化简整理为

 

 

  

  说明 像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.

  10 abc是正数,解方程

 

  解法1 原方程两边乘以abc,得到方程

  ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.移项、合并同类项得

ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]

+ac[x-(a+b+c)]=0

  因此有

[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0

  因为a0b0c0,所以ab+bc+ac0,所以

x-(a+b+c)=0

  x=a+b+c为原方程的解.

  解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3,再拆为三个“-1”,并注意到

 

  其余两项做类似处理.

  m=a+b+c,则原方程变形为

 

  所以

 

   

  

  即

x-(a+b+c)=0

所以x=a+b+c为原方程的解.

  说明 注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.

  11 n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:

 

  分析 要解此方程,必须先去掉[ ],由于n是自然数,所以n(n+1)

   …,n[x]都是整数,所以x必是整数.

   根据分析x必为整数,即x=[x],所以原方程化为

   

 

  合并同类项得

   

 

  故有

   

 

所以x=n(n+1)为原方程的解.

  12 已知关于x的方程

 

  a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.

   由原方程可解得

 

  

 

 

a最小,所以x应取x=160.所以

 

  所以满足题设的自然数a的最小值为2

  

 

练习四

 

  1.解下列方程:*

  

  2.解下列关于x的方程:

  (1)a2(x-2)-3a=x+1

   

    

  4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解

 

 

 

 

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