锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质，本文对这两个性质加以证明。

性质1  锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心。

已知：如图1，锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高，O为垂心。

求证：点O为垂足△DEF的内心。

证明：由已知条件可得D、C、E、O四点共圆，所以2=∠4；同理∠1=∠3，又∠3和∠4都与∠ABC互余，所以∠3=∠4；所以∠1=∠2，EB平分∠FED；同理可得FC、DA分别平分∠EFD与∠FDE。所以点O为△DEF的内心。性质1得证。

性质2   锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周长最短。

为了证明性质2，我们先看几个引理：

引理1   已知：如图2，点E为锐角△ABC的边AC上一点，点E关于AB的对称点为G，关于AC的对称点为H，GE交AB于点P，EH交BC于点Q，GH交AB、BC分别于点F、D，△EMN是过点E的任一异于△DEF的内接三角形。若△DEF的周长记为L₁，△EMN的周长记为L₂。则有⑴ L₁=2PQ；⑵ L₁ < L₂。

证明：⑴连结MG、MH，由已知条件可得，PQ为△EGH的中位线，所以L₁=2PQ；

⑵由已知条件易得L₁=EF+FD+DE=GF+FD+DH=GH，L₂=EM+MN+EN=GM+MN+NH>GH，所以L₁ < L₂。

注：引理1证明了过三角形边上任一点存在周长最短的内接三角形，且其周长为定值。

引理2   已知：如图3，若△DEF为锐角△ABC的垂足三角形，则△DEF是过点E的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形。

证明：作点E关于AB的对称点为G，关于AC的对称点H，连结FG、DH、CF，由定理1可知，∠1=∠2；由对称性可得，∠3=∠4；再由CF⊥AB于F得，∠2+∠3=∠AFC=90^o；所以∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AFC=180^o，即点G、F、D在同一直线上；同理可得，点H 、D、F在同一直线上。所以，点G、F、D_、H在同一直线GH上。所以F、D必为GH与AB、BC的交点。所以，由引理1可知△DEF是过点E的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形。引理2得证。

注：引理2证明了垂足三角形是过某一垂足点的周长最短的内接三角形。

引理3   在同圆或等圆中，相等的圆周（心）角所对的弦相等；在不等圆中，相等的圆周（心）角所对的弦，大圆的弦大于小圆的弦。（证明略）

性质2的证明：  如图4，△DEF为锐角△ABC的垂足三角形（由引理2可得，△DEF为过点E的周长最短的内接三角形），△D₁E₁F₁是过点E₁的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形（E₁为AC边上异于点E的点）。以下证明△DEF的周长（记为L₁）小于△D₁E₁F₁的周长（记为L₂）。

作点E关于AB的对称点为G，关于AC的对称点为H，连结GE交AB于点P，连结EH交AC于点Q，连结GH必交AB、BC分别于点F、D（由引理2保证）；作点E₁关于AB的对称点为G₁，关于AC的对称点为H₁，连结G₁E₁交AB于点P₁，连结E₁H₁交AC于点Q₁，连结G₁H₁必交AB、BC分别于点F₁、D₁（由引理1保证）；由引理1可得，L₁=2PQ，L₂=2P₁Q₁；由对称性可得EP⊥AB于P，EQ⊥BC于Q，所以，点E、P、B、Q在以BE为直径的圆上；同理可得点E₁、P₁、B、Q₁在以BE₁为直径的圆上。所以，线段PQ、 P₁Q₁可以分别看以BE、BE₁为直径的两不等圆中相等的圆周角∠ABC所对的两条弦。又因为BE是垂线段，所以BE < BE₁，由引理3可得PQ< P₁Q₁，所以L₁< L₂。性质2得证。

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