学数学知识  用数学思想

数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙，在数学中蕴含着一些重要的数学思想，为帮助大家理解数学思想，以便在解题中灵活地运用，现就几种数学思想分析如下。

一、            代数思想

代数思想即用字母代替数，在解决一些较复杂一些的数的计算中，如果能恰当地利用字母去代替数值，从而将数字计算转化为数学式子的化简，可使计算明快简捷。

例1 已知M=2004×2005-1，N=2004²-2004×2005+2005²，试比较M、N的大小。

分析：为了比较简便，可设2004=a，那么M=a（a+1）-1=a²+a-1，

N=a²-a（a+1）+(a+1)²=a²+a+1,

因为M-N=(a²+a-1)-(a²+a+1)=-2,所以M<N.

二、            整体思想

整体思想就是在数学问题中，对于有的问题，可以从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察分析探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙解决。

例2已知

求代数式 的值

分析：本题是一道求值问题，如果将a、b、c的值直接代入计算，则非常的麻烦，观察已知条件及所求式子，联想所学习的数学知识，可以通过整体思想求出a-b、b-c、c-a的值进行整体代入。

解：由已知，得a-b=1，b-c=-2，c-a=1，

所以 = ,

将a-b=1,b-c=-2,c-a=1代入得所求式的值为3.

三、            一般问题特殊化思想

在解决某些数学问题时，可以将一般的结论用特殊的情况代替解决。即一般问题特殊化思想解决问题。

例3  如图1：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是【  】

    （A）     （B）   （C）      （D）          

  图1

分析：从已知条件可知三角形BCE为等腰三角形，要求PQ+PR的值，因为P是CE上任意一点，所以本题可将一般的结论转化为特殊的情况，设P和点C重合，则PF的长就是PQ+PR的长，所以只需求到PF的长度即可。           

根据三角形的面积很容易求到CF= ，所以选（A）。

四、            方程思想

对于所求的数学问题，通过列方程（组）来解决问题的一种解题策略，就是方程思想。特别是在有的几何问题求解中，利用设未知数，列方程求解往往可是问题快捷方便。

例4如图2，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为【  】

（A） 400 cm²                    （B） 500 cm²

（C） 600 cm²                （D） 4000 cm²

分析：要求矩形的面积，则需要求到矩形的长，根据本题的图形特征，可以通过设未知数，利用矩形的长与宽的关系列方程组求解。 

 解:设一个小矩形的长为xcm,宽为ycm,根据矩形的性质得

解得

所以小矩形的面积为40×10=400(cm²).选(A).                 图2

五、            数形结合思想

数形结合思想，就是将数（量）与形（图）结合起来解决问题的一种数学思想方法。利用数形结合思想解决有关问题可化难为易，直观明了。

例5 若a<0,b>0,且|a|<|b|,那么下列各式结果为正数的是【  】

(A)(a-b)(ab+a) (B)(a+b)(a-b)  (C)(a+b)(ab+a)  (d)(ab-b)(a+b)

分析:本题可借助数轴,利用数形结合思想求解.                

解:根据题意可画出a，b两数在数轴上对应点的位置如图3，          图3

根据数轴可知a-b<0,a+b>0,因ab+a=a(b+1)<0,ab-b=B(a-1)<0,                                                        

所以(a-b)(ab+a)>0,(a+b)(a-b)<0,(a+b)(ab+a)<0,(ab-b)(a+b)<0,

所以选(A).

数学思想较多,除了以上几种外,还有类比、转化等数学思想，只要大家认真思考，灵活的应用。数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果。