质数与哥德巴赫猜想

著名数学家高斯曾说过：“数学是科学的皇后，而数论则是数学的皇后。”数论中最引人入胜的问题之一——哥德巴赫猜想，被誉为“数学是冠上的明珠。”这个至今仍悬而未决的问题与一类特殊的数—质数有关。

我们知道，自然数可以这样分为三类：

1．数“l”：只有它本身作为自己的因数。

2．质数：只有1和它本身作为自己的因数。

3．合数：有两个或两个以上大于1的因数。

上面的分类是按照数的因子的个数来分类的。质数体现出来的这种特殊性质（只被1和它自身整除）引起了人们的兴趣并很早就开始了有关的研究。

早在2000多年前，古希腊学者欧几里得（Euclid，约前33O年～前275年）就作出了简单而又生动的证明“不管你取的质数有多大，肯定还能找出比它更大的质数。也就是说，质数有无穷多个。比如说，能找出比13更大的质数吗？

首先，你把不大于13的所有质数2，3，5，7，11，13乘起来，然后把这个乘积再加上1，便得：

2×3×5×7×ll×13＋l＝30031

这个数肯定不能被2，3，5，7，11或13所整除，因为除得的结果都余1。如果30031除了它本身和1之外再也不能被其他数整除，那么它就是质数；如果它还有其他的质因数，那么这个（或多个）其他因数必定大于13。实际上，30031＝59×509，即我们找出59和529这两个比13大的质数。

对于多个质数的情形，我们的推理完全一样。假若2，3，5，7，11，……，p为所有不大于p的质数，则令

N＝2×3×5×7×11×…×p＋1

数N要么是质数，要么所有的质因子都大于P。

欧几里得把这个证明放在了他的巨著《几何原本》第九卷中。不过，他的证明过程并不是读者在本文中所看到的样子，而是用几何的方法来表述的。这个证明方法还可以用于证明质数之间存在着很大的间隙。其方法是，我们可以随意挑出一段足够长的连续的合数，把它们插在两个质数的间隙之中。例如，我们希望插入1000个连续的合数，那么就先找出大于1000的第一个质数1009，下面的这1000个数：

       2×3×5×7×…×1009＋2

       2×3×5×7×…×1009＋3

       2×3×5×7×…×1009＋4

       2×3×5×7×…×1009＋5

     ……

     2×3×5×7×…×1009＋1001

显然是连续的合数。这意味着我们在两个质数之间找到了至少1000个数的间隙！

对于这个结果读者也许会感到有些惊讶，质数之间的间隙竟然要多大有多大！不过，质数之间并不总是这样稀稀拉拉的，人们发现有些质数紧挨在一起（中间仅隔一个数字）而且成对地出现，如 3，5；5，7； 11， 13； 17， 19；29，31；41，43；…；10016957，10016 959；…；999 9999 9．9959，999 999 999 961；…。这些成对出现的质数被称为孪生质数。关于孪生质数是否存在无穷多对的问题，也是一个尚待解决的世界著名难题。

质数的分布体现出如此的不确定性，有时间隙要多大有多大，有时又紧挨在一起；从1到10这十个数中共有四个自然数，而从1001到1010之间却仅有1009这一个质数。为了找出质数的分布规律，有人想到了造“表”。

古希腊著名学者埃拉托塞尼（Eratosthenes，约前284～前192）创造了所谓的“筛法”并以此制出了一个不太大的质数表。

他先把从2到N的所有整数写出来，然后从中划去2的所有倍数；再划去3的所有倍数如 6，9，12，15…；接着划掉所有 5的倍数如 10，15，20，…；这样持续地做下去，有些数可能被划掉不止一次，最后剩下的数就是质数，这个被挖去台数的数表就像布满洞眼的筛子，因而得名“埃拉托塞尼筛子”。

这种制质数表的方法毕竟过于繁琐，于是人们开始尝度寻找质数的一般表达式。退一步说，如果能找到一个公式来表达一部分质数也很好。法国数学家费马因此提出了一个奇妙的猜想：

形如2ⁿ+1的数是质数（n=0，1，2，3，4，…）后人把这类数称为费马数。

按照这个表达式，当n=0，1，2，3，4时，所得的数3，5，17，257，65537的的确确都是质数。但不幸的是，费马的猜想就在n=5的时候出了差错。七八十年代后，瑞士数学家欧拉（Euler，1707~1783）指出，n=5时所得数 是合数：

4294967297=641×6700417

而且奇怪的是，从那以后，数学家们至今却再也没能找到任何一个是质数的费马数了。

推翻费马猜想的欧拉也提出了一个公式：

f(n)=n²-n+41

把n=0,1,2,3,4…，40代入这个式子可以得到41，41，43，47，…，160共40个不同的质数。

1798年，法国数学家勒让德（Legendre,1752~1833 ）提出了另一个更为简单的公式：

f(n)=2n²+29

把n=0,1,2,3,…，28代入这个式子可以得到29，31，37，…，1597共29个质数。

随后，又有许多人提出了各种各样的公式，比如f(n)=n²-79n+1601, f(p)= (p是奇质数)等等，但这些公式都会从某个数开始失效，人们在这方面的尝试并没有取得很大进展。

质数领域的一个著名难题就是一开始我们曾经提到过的哥德巴赫猜想。哥德巴赫（Goldbach,1690~1764）是德国人，彼得堡科学院院士。他在1742年6月7日给欧拉的信中提出了这个猜想。这个猜想的完整内容是：任何不小于6的偶数均能表示成两个奇质数之和。任何不小于9的奇数均能表示成三个奇质数之和。同年6月30日，欧拉在复信中写道：“任何不小于6的偶数都是两奇质数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑地认为这是完全正确的定理。”实际上，这个问题的后一半可以很容易地从前一半推出，反过来则不行。

哥德巴赫猜想引起了众多数学家和业余数学爱好者的极大兴趣，但它的证明极其困难，直到十九世纪结束的200多年前没有取得任何进展。不过有人做了大量的验证工作，现在已经有人验证了对于所有大于4而不超过33000 000的偶数，猜想都正确。这是迄今为止被验证得最多的数学猜想。

1900年，在巴黎召开的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特（Hibert,1862~1943）发表了世界数学需要研究的23个难题（名为希尔伯特问题），其中第8个提到了哥德巴赫猜想。1912年，德国著名数论大师兰道（Landau,1877~1938）在第五届国际数学家会议上的报告中声称：“即使要证明下面较弱的命题：任何不小于6的整数都能表示成c(c为一个确定整数)个质数之和，这也是现代数学力所不及的。”可见这个猜想证明的难度之大。

尽管如此，数学家们锲而不舍的努力终于使得这个问题的研究取得了突破性的进展。1920年，挪威数学家布龙（Brun）证明了每个充分大的偶数都可以表示为2个质因数不超过9个的正整数之和。人们把这个命题称为“9+9”。随后，数学家们陆续取得了下面的成果：

1924年，德国数学家雷特马赫（Rademacher）证明了“7+7”。

1932年，英国数学家埃司特曼（Estermann）证明了“6+6”。

1937年，意大利数学家蕾西（Ricci）证明了“5+7”，“4+9”，“3+15”和“2+366”。

1938年，苏联数学家布赫夕太勃证明了“5+5”，随后在1940年又证明了“4+4”。

1956年，中国数学家王元证明了“3+4”。

1957年，中国数学家王元又证明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中国数学家潘承洞和苏联数学家巴尔班分别独立证明了“1+5”。

1963年，王元、潘承洞和巴尔班又分别独立证明了“1+4”。

1965年，苏联数学家维诺格拉朵夫和希赫夕太勃以及意大利数学家庞比利独立证明了“1+3”。

1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”并于1973年发表了他的论文《大偶数表示的一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，在国际上引起了轰动。英国数学有哈伯斯坦姆（Halberstam）与德国数学家李希特（Richet）合著的一本名为《筛法》的数论专著，原有十章，付印后见到了陈是润的论文，便加印了第十一章，章目为“陈氏定理”。

从陈景润的“1+2”到最后的“1+1”仅有一步之遥了，但到目前为止，数学家们虽努力改进证明方法，但仍然没有明显进展。这一颗耀眼而孤独的“皇冠上的明珠”仍等待着人们去摘取。

在数学家们一次次的攻关过程中，发明发现了许多新的数学方法和理论，从这个意义上讲，在向世界难题进军过程中所作的努力和尝试对数学的促进与推动也许比最终解决难题本身更有意义吧。